引言

在金融市场量化分析与衍生品定价领域，波动率是核心基础参数。作为Black-Scholes（B-S）欧式期权定价公式的关键输入变量，波动率建模的精度直接决定期权定价的有效性，进而影响市场风险管理体系的可靠性。Engle次提出金融市场波动率具有时间序列异方差性特征，并构建ARCH模型（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，自回归条件异方差模型）实现波动率的量化建模；Bollerslev在ARCH模型基础上拓展提出GARCH模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity，广义自回归条件异方差模型），其衍生的GARCH模型族在波动率预测中的有效性已得到广泛验证。近年来，我国在波动率的预测和期权定价方面的研究取得了一定的进展，但在我国国债期货期权定价方面仍在起步阶段。本研究将构建GARCH(1,1)模型对2年期国债期货的波动率进行预测，不仅可以评估其价格波动特性，还能为期权定价提供重要的实证依据。

一、国债期权标的资产价格的运行特征

（一）Hurst指数分析国债期货价格的回归属性

Hurst指数是一个用于量化时间序列长期记忆性或依赖性的重要统计指标。当0

首先，将市场对数收益率序列{}划分为m个长度均为n的连续子区间，对于其中的每个子区间{}，k=1,2,3,...,m，定义为该子区间的平均值即表示为：

为此子区间序列的标准差即：

为该子区间内第j个元素相对于均值的累计离差，j=1,2,3,...,n。即：

为累积离差的极差即：

在每个子区间内，用标准差对波动范围进行标准化处理，即为重标极差，把m个这样的重标极差平均计算得到均值：

而子区间长度n是可变的，不同的分段情况对应不同的，根据Hurst指数的定义：

其中，C为常数，H即为对应的Hurst指数。将上式两边取自然对数得到：

通过最小二乘法进行回归，我们可以得到斜率的参数，即为计算得到的H值。

为了验证我国国债市场是否存在分形特征，本文选取了2021年11月到2025年11月两年期国债期货的每日收盘价的对数收益率计算了Hurst值，计算结果为0.7809。可以看到，两年期国债期货的H值>0.5，表现为长记忆性，符合分形特征。

（二）ADF检验国债期货价格平稳性

单位根检验是时间序列平稳性的统计检验方法，常通过ADF检验实现。单位根是时间序列非平稳性的标志，意味着数据含趋势或漂移成分，检验的核心目的是验证序列是否存在单位根，进而判定数据平稳性。检验中常采用一阶差分自回归模型AR (1)，其中差分特指时间序列的逐期变化量，检验假设设定如下：

零假设：存在单位根，即时间序列数据是非平稳的。

备择假设：不存在单位根，即时间序列数据是平稳的。

ADF检验的核心统计量（ADF统计量）用于对零假设与备择假设进行检验判断。当ADF统计量小于特定临界值，或p值低于常用显著性水平（通常为0.05）时，可拒绝零假设，判定时间序列数据具备平稳性。

单位根检验在时间序列分析中具有核心地位，因为平稳性是多数时间序列模型的关键前提假设。若时间序列数据呈非平稳性，将导致多数经典时间序列模型失效。因此，单位根检验可明确数据是否需通过差分或其他方式进行平稳化处理，为后续的分析、建模与预测工作提供基础。

期货类别	ADF统计量	p值	观察数	临界值（1%）
2年期国债期货	-33.0943	0.0010	969	-2.8650

在本分析中，核心结果如下：当p值小于0.05时，可拒绝原假设，即表明国债期货价格时间序列不存在单位根。由此可判定该序列具备平稳性，其统计特征显示数据无趋势成分，且可能呈现均值回归特征。平稳序列不受非平稳性干扰，更易于开展分析与建模，可直接用于后续时间序列预测模型的构建。

综上所述，本文通过描述性统计分析证明国债期货价格满足期权定价模型假设，通过Hurst指数、ADF检验说明实际分布特征分布存在均值回归性，符合期权定价模型。

二、国债价格波动指标的计算

（一）以历史波动率法求值

历史波动率是衡量资产价格波动程度的指标，核心作用是反映市场的不确定性与风险水平。其中，高波动率通常对应较高的市场风险，低波动率则代表市场运行相对平稳。由于其计算依赖市场实际价格波动，且相关数据均为交易完成后的历史信息，因此历史波动率一般通过对过去特定时期内的价格变动进行统计运算得出。

历史波动率计算公式为：

数据选取：本文选取2021年11月到2025年11月的2年期国债期货价格数据，通过Matlab计算，计算结果为0.0082。

（二）自相关检验

滞后阶数	AC值	PAC值	Q统计量	P值
1	0.0934	0.0934	8.4311	0.0037
2	0.0945	0.0866	17.083	0.0002
3	0.0778	0.0627	22.949	0.0000
4	0.0633	0.0445	26.831	0.0000
5	0.0721	0.0526	31.873	0.0000
6	0.0223	-0.0008	32.356	0.0000
7	0.0656	0.0484	36.549	0.0000
8	0.0140	-0.0067	36.741	0.0000
9	0.0128	-0.0037	36.9	0.0000
10	-0.0207	-0.0341	37.32	0.0000

时间序列自相关性检验的核心功能在于判定序列数据内部是否存在自相关特征，其结果是后续选择与应用时间序列模型的重要前提。GARCH（广义自回归条件异方差）模型的核心假设之一是，序列误差项的条件方差具有时变特征，且依赖于过去误差项的平方项（即存在异方差自相关性），因此在采用该模型对国债对数收益率的波动率进行预测前，需先对序列开展自相关性检验，以验证模型适用的前提条件是否满足。

由检验结果可知，国债对数收益率序列前10阶自相关系数（AC）与偏自相关系数（PAC）均显著不为零，这表明该序列存在显著的自相关特征，且满足 GARCH 模型对误差项异方差自相关性的假设要求。

综上，国债对数收益率序列的自相关性检验结果支撑了模型适用性，因此本文可采用GARCH模型对其波动率展开预测分析。

（三）ARCH效应检验

构建GARCH模型前，对数据序列进行ARCH效应检验是前置且必要的环节。

ARCH效应的核心定义为：模型残差平方序列呈现显著自相关特征，这一特征表明波动率具有时序可预测性，即历史波动信息可用于对未来波动水平进行推断。若数据未表现出ARCH效应，则GARCH模型赖以成立的异方差时序特征假设不满足，模型构建的合理性将失去前提支撑。

滞后阶数	Chi2	Df	P值
1	8.398	1	0.0038
2	15.540	2	0.0004
3	19.232	3	0.0002
4	21.054	4	0.0003
5	23.800	5	0.0002

由上表可以明显看出存在显著的ARCH效应，再根据图1观察得出，发现存在波动率聚集的现象，可以进行GARCH建模。

（四）应用GARCH模型求取修正值

GARCH模型是一种用于估计时间序列波动性的统计模型，常用于金融领域。国债期货价格的波动性指标的计算可以通过GARCH(1,1)模型来实现，具体公式如下：

是在时刻t的条件方差，c是模型的常数项，+是模型的系数，分别表示过去一期残差的平方和过去一期方差的权重，是在t-1时刻的残差的平方。是在t-1时刻的条件方差。

本文选用了2021年11月至2025年11月2年期国债期货价格作为样本数据，回归结果如表4所示。

变量	系数	标准差	Z统计量	P值
C	4.86E-08	9.33E-09	5.21	0.0000
ARCH L1.	0.185631	0.288833	6.43	0.0000
GARCH L1.	0.6437704	0.497455	12.94	0.0000

得到GARCH (1,1)模型方程，见公式（10）：

实证分析结果表明，该GARCH模型中ARCH项和GARCH项系数均通过1%显著性水平的检验，反映出模型设定具有较高的统计可靠性。进一步地，波动持续系数+的计算值为0.829，该值严格小于1，表明序列满足平稳性条件且波动特征具备可预测性；同时，由于该值接近1，意味着条件方差受到较为持久的冲击影响。此外，参数估计中大于，这揭示了前期信息对碳价波动的解释力度优于当期信息，凸显出历史波动率在预测中的主导作用。最后对所建模型进行LM检验是否存在显著的异方差性：

滞后阶数	Chi2	Df	P值
1	0.069	1	0.7921
2	0.264	2	0.8761
3	0.265	3	0.9663
4	1.017	4	0.9072
5	1.014	5	0.9614

由上表可以看出，发现残差序列的ARCH效应已经被消除，再次证明了模型的有效性。

最后进行波动率的预测，由于历史波动率是基于过去已经出现的历史价格，不能进行复利计算，对比GRACH模型考虑到了时间因素更为准确，所以本文采用预测结果，通过GARCH模型处理样本序列并计算得到的年波动率的值为0.0085。

三、结语

本研究运用GARCH模型对国债的波动率进行了精准的预测为国债期货期权定价提供了量化基础，后续可进一步结合市场实际需求优化研究方法与研究范围，为我国国债衍生品市场的创新发展、监管完善与投资者风险管理提供更具针对性的理论参考与实践指导。随着我国利率市场化改革的持续深化与资本市场的高质量发展，国债衍生品市场的完善已成为提升金融市场风险定价效率、增强市场韧性的重要环节。当前我国尚未推出国债期货期权，本研究提供的精准波动率参数，可为未来国债期货期权合约设计、定价机制完善提供核心量化依据，有助于填补我国债券市场精细化风险管理工具的空白，契合《“十四五”资本市场发展规划》中“构建有韧性的市场生态”的发展目标，为健全资本市场功能、提高直接融资比重提供技术支撑。

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