一、引言

数学作为研究数量关系与空间形式的科学，不仅是抽象的符号与公式，更是描述现实世界的精确语言。本文旨在探索初高中数学的核心，强调数学的本质是由方程与不等式构成的科学语言。通过学习如何列方程、解方程以及列不等式、解不等式，我们能够更好地理解和应用数学。掌握这一核心，将使数学学习变得更加简洁明了，为初高中生提供有效的学习路径。

二、数学是一门语言

根据2022版数学新课程标准的定义，数学一门是研究数量关系与空间关系的科学。从初中教学和高中教学的角度来看，数学是一门科学语言，把现实的过程翻译成数学的语言。这跟弗赖登塔尔的数学化有异曲同工之处。但是对初中生和高中生来说，数学题是由一个又一个的方程和不等式构成的，因此数学是由等式和不等式构成的科学语言。为了让学习者更容易学习数学，教师一方面要教会学生如何在解题过程中列等式和不等式，另一方面要教学生如何解方程和解不等式。不断重复这个过程，使之形成相应的条件反射，即达到了“把初中数学、高中数学变得更简单易学”的目的。总的来说，数学是一门由方程和不等式构成的科学语言。

三、列方程或不等式的过程

（一）初中测试题

如图1，矩形ABCD中，AD＞AB，连接BD，点A关于BD的对称点为点E，连接AE、BE、CE、DE，AE与BD交于点F。以点C为圆心，CD为半径做圆。

1.如图1，当点F在⊙C上时，求的值.

解法一：本着让学生更容易找到思路的初衷，以点B为原点，BC为x轴，BA为y轴建立平面直角坐标系。设AB＝1，BC＝t(t＞1)，则可以写出B（0,0），A(0,1)，C(t,0)，D(t,1)这四个点的坐标，并不耗费学生很多时间，接着依次写出：

过程略.

因为CF＝CE＝1，故可以根据等式关系列出如下方程：

解法二：常规解法——标点标角法

过点C作CQ⊥BD，垂足为点Q，连接CF。易证明△ABF≌△CDQ，故BF＝DQ＝FQ，设BF＝1，AB＝a，易得BD＝3，从图2中可得△ABF∽△ADB，根据相似的性质易得等式，得到BD＝a²＝3，，。故可得。

对比两种方法，它们的共同之处在于都运用了找等式关系来列等式的基本思想。解法一通过建系设点来列方程，解法二是利用全等相似的性质来寻找线段的相等关系来列等式。解法一对学生思维要求低，计算水平要求偏高。笔者的导师戎海武教授指出这种方法的不当之处在于：部分初中生没有学习两点之间的距离公式，属于超纲内容。故而这种方法不宜大范围讲，适宜有志于竞赛的同学学习。解法二易懂，但是辅助线一题一法，换另外一个题目又是另外一种辅助线做法，很多同学不容易想到正确的辅助线连接方法。不过从不同的方法可以看出共同点，那就是把题意中的等式条件找出来，列出我们熟悉的数学等式和方程，解方程或者转化等式即可。这样的解题思路凸显出数学的简洁美和直接美，使学生们更容易找到解决问题的角度。从教师的角度来看，学生如果使用标点标角法这样的辅助线方法，五分钟内没有明确详细的解决措施，可以使用解法一这样的解析几何的方法来找等式，列方程，解方程，从而迅速得分。下面的问题同样使用这个策略。

2.如图3，AE、DE分别交BC于点G、H，请探究GH与HC的数量关系，并证明.

解法一：GH＝HC,证明如下：

连接AC，交BD于点O，连接CE.

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD＝BC，AO＝CO，

∴∠ADB＝∠CBD，

∵点A、E关于BD对称，

∴AE⊥BD，AF＝EF，AD＝DE，

∴∠ADF＝∠EDF，BC＝DE，

∴∠CBD＝∠EDF，

∴HB＝HD，

∴HC＝HE，

∵AO＝CO，AF＝EF，

∴OF是△ACE的中位线，

∴OF∥CE，

∴∠AFO＝∠AEC＝90°，

∴∠HEC+∠HEG＝∠HCE+∠HGE＝90°，

∴∠HEG＝∠HGE，

∴GH＝HE，

∴GH＝HC。

上面这种方法是运用了辅助线，找出与GH、HC共同相等的线段EH，作为中介，利用等式的传递性来转化等式关系，翻译对应的数学语言.

解法二：找等式关系

依次写出直线BD的解析式，AE的解析式，点G坐标，点E坐标，直线DE的表达式，点H的坐标，则此时发现，_xG+_xC＝2_xH，故GH＝HC.

我们可以看出，解法一和解法二都能用数学的语言表达出同样的结果，区别就在于学习者如何用数学的语言来表达。学习者采用不同的表达方式，于是有了不同的解题方法。因此，若有第三种解法存在，必然也是使用数学语言，只不过采用不同的表达方式而已.

（二）初高衔接题

如图4，若函数有唯一的零点，求实数m的取值范围。左右两个函数图像只有一个交点，左边大于0，且右边也是大于0.

思路分析：，只有一个解.

。左右两个函数图像只有一个交点，左边大于0，且右边也是大于0.

点(0，-m)在点m1和m2之间运动，得不等式：2≤-m＜10，解得-10＜-m≤-2.因此m的取值范围是：(-10,-2].

四、总结

我们认为，数学是一门由方程和不等式构成的科学语言。初高中阶段，方程和不等式必然反复出现在数学学习的过程中，教学的重点在于引导学生学会数学的语言，学会列方程和解方程，学会列不等式和解不等式。数学的核心就是方程和不等式。可以说，初高中阶段的数学学习，就是在学方程和学不等式。换而言之，列方程、解方程的水平越高，数学成绩越高，在不等式这一方向也是如此。因此本文的研究结论是，数学是一门由方程和不等式构成的科学语言，高中数学和初中数学的教学重点应放在“找等量关系列方程，找不等关系列不等式”上，剩下需要做的就是解方程和解不等式的常规操作。如果学生们把该思想化用在数学学习上，就有了相当明确的努力方向，提升数学水平和数学成绩指日可待。如果教师们把该思想用于指导教学实践，则工作的侧重点就呼之欲出，那就是用各种教学手段提升学生列方程、解方程、列不等式和解不等式的水平。

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