引言

随着无人机技术的快速发展，无人机在物流配送、灾害救援、农业植保、军事侦察等领域的应用日益广泛。然而，在复杂动态环境中，无人机的自主飞行能力高度依赖于精准的轨迹预测技术。准确的轨迹预测不仅能够优化飞行路径、提高任务效率，还能有效规避障碍物，保障飞行安全。因此，研究高精度的轨迹预测方法具有重要的理论意义和应用价值。

传统的轨迹预测方法主要基于物理动力学模型或统计学习模型，如自回归积分滑动平均模型（autoregressive integrated moving average model，ARIMA）和灰度预测模型等。其中，无偏灰度GM(1,1)模型因其计算简单、对数据量要求低等优势，被广泛应用于短期轨迹预测。然而，该模型假设数据服从指数规律，难以适应实际场景中无人机轨迹的非线性、动态性和噪声干扰，导致预测精度受限。近年来，循环神经网络及其变体因其强大的时序建模能力，在轨迹预测领域展现出显著优势。然而，传统循环神经网络(recurrent neural networks，RNN）难以捕捉误差序列的长期依赖关系。长短时记忆（long short term memory，LSTM）虽能缓解这一问题，但其计算复杂度较高。而门控循环单元（gated recurrent unit，GRU）结构简洁、训练效率高，但在处理长序列时可能忽略部分深层特征。因此，如何结合二者的优势，构建精准的误差修正模型，成为提升无人机轨迹预测精度的关键挑战。

1 相关工作

现有的轨迹预测方法分为三类：物理模型方法、统计学习方法以及机器学习方法。其中，物理模型方法是基于无人机的运动学、动力学规律及环境约束，通过建立物理方程来预测无人机运动轨迹。统计学习方法利用历史轨迹数据中的统计规律构建模型，无需依赖物理机理，直接从数据中学习轨迹模式。这两类方法难以处理强非线性或突变轨迹，因此，研究人员通过机器学习算法从大量历史数据中学习轨迹的复杂映射关系，捕捉非线性、动态变化特征，这类方法可分为传统机器学习方法和基于深度学习的方法两类。

在传统机器学习方法范畴内，支持向量回归（support vector regression，SVR）被广泛应用于无人机轨迹预测。SVR模型通过构建一个最优分类超平面，将轨迹数据映射到高维空间进行回归分析。随着深度学习的兴起，基于深度学习的方法在无人机轨迹预测中展现出强大优势。LSTM通过输入门、遗忘门和输出门的设计，能够捕捉轨迹数据中的长期依赖关系。文献设计的LSTM网络模型对无人机航迹进行预测，综合长期记忆无人机状态信息的变化与上一时刻记忆得到预测值。GRU则是LSTM的轻量级变体，简化了LSTM结构，计算效率更高，同样能较好地处理时间序列数据中的动态变化特征。

因此，鉴于GRU与LSTM在处理序列数据上的各自优势，提出了基于无偏灰度与GRU-LSTM网络的轨迹预测方法，该方法核心在于融合灰度模型的少样本适应性与深度学习的非线性建模能力，以提升复杂环境下的轨迹预测精度。

2 基于无偏灰度和GRU-LSTM网络的轨迹预测方法

针对无人机轨迹预测任务，提出一种基于无偏灰度与GRU-LSTM网络的轨迹预测方法。该方法的核心思想在于融合灰度模型的少样本适应性与深度学习的非线性建模能力，以提升复杂环境下的轨迹预测精度，整个方法的框架图如图1所示。输入为无人机历史轨迹位置坐标数据，第一阶段由无偏灰度GM(1,1)模型对历史数据处理后，输出t+1至t+n时间步的初步预测轨迹；误差序列生成模块计算初步预测与实际轨迹的误差序列。第二阶段中，GRU-LSTM网络通过GRU层捕捉误差短期波动，LSTM层挖掘长期趋势，输出修正误差。最后，轨迹融合输出层将初步预测与修正误差叠加，得到t+1至t+n时间步的最终预测轨迹。

2.1 灰度GM(1，1)模型的预测方法

GM(1,1)模型通过累加生成算子将原始非平稳序列转化为规律性更强的单调递增序列，并基于此构建一阶线性灰度微分方程，最终通过参数求解实现预测。具体而言，灰度预测的实现包含两大关键步骤：数据预处理和基于GM(1，1)模型的跟踪解算。

2.1.1 数据预处理

将无人机轨迹数据作为轨迹基础值（原始数列），需要对原始数据序列进行处理，把处理后的轨迹数据序列称为生成序列，也就可以发现原始数列中没有表现出来的数据规律。提取飞行轨迹中x轴的位置信息得到n个时刻的位置信息，原始数据序列定义如下式(1)：

对给定的数据序列进行一次累加得到初始化序列如下式(2)所示：

式中由下式(3)计算得到：

2.1.2 基于GM(1，1)模型的跟踪解算

对原始数据处理完之后，需要得到平均序列如式(4)所示：

其中，的计算公式如下式(5)所示：

灰度理论的基本形式定义如下式(6)所示：

建立非线性微分方程如下式(7)所示：

通过最小二乘法，得到灰度参数和如下式(8)所示：

其中，为原始数据组成的向量如式(9)所示，为对平均序列处理后得到的矩阵如式(10)所示:

运用最小二乘法求出微分方程的解，得到灰度预测模型方程如式(11)所示:

其中，和灰度参数由下式(12)得到：

灰度参数为发展系数，与精度相关，决定了预测时间的长短，取值范围为0-0.5。

2.2 基于GRU-LSTM神经网络的预测方法

所提方法对无偏灰度GM(1,1)模型的预测误差进行学习和修正。首先，通过无偏灰度理论模型得到预测误差数据集；其次，使用GRU-LSTM神经网络对数据集训练得到预测误差模型；最后，利用无偏灰度理论模型预测轨迹初值，加上反向传播神经网络得到的预测误差，得到最终的轨迹预测值。

2.2.1 无偏灰度GM(1,1)模型预测误差

无偏灰度GM(1,1)模型预测误差分为五个步骤：加载数据、累加生成、背景值计算、参数求解以及预测及误差计算。首先，加载无人机轨迹文件，每条数据包含tx、ty、tz三个维度的坐标信息。其次，对每个维度的原始轨迹数据进行累加生成操作，通过公式计算得到累加生成序列。第三，通过公式计算累加生成序列的背景值序列。第四，使用最小二乘法求解无偏灰度GM(1,1)模型的参数和。构建矩阵和向量，其中，，通过求解得到。最后，采用公式根据求解得到的参数和进行预测，然后进行累减还原得到预测的原始序列，采用公式计算预测误差。

2.2.2 误差数据预处理

误差数据预处理包含数据分割与填充和归一化处理两个步骤，将误差数据按照指定的序列长度进行分割，对于不足的部分，使用多项式拟合进行填充，同时采用最小-最大归一化方法将误差数据归一化到[0,1]区间。

2.2.3 GRU-LSTM模型构建

GRU-LSTM网络主要由一个GRU层、两个LSTM层和一个全连接层组成。输入层接收经过归一化处理后的误差序列，输出层输出预测的误差值。通过这种层次化的结构设计，模型能够逐步提取误差序列中的特征信息，从短期依赖到长期依赖，最终实现对误差的准确预测。在处理无偏灰度GM(1,1)模型的预测误差时，GRU-LSTM网络采用分层特征提取策略，其结构如下：

输入层：将无偏灰度GM(1,1)模型的预测误差序列作为输入，输入到GRU层，负责学习误差序列的局部时序模式。

GRU层：GRU层对输入的误差序列进行处理，快速提取序列中的短期特征信息，并将处理后的结果传递给LSTM层。

LSTM层：LSTM层进一步对GRU层的输出进行处理，利用其门控机制捕捉序列中的长期依赖关系。

全连接层：将LSTM层的输出通过一个全连接层进行线性变换，得到最终的预测误差修正值。

2.2.4 GRU-LSTM模型训练

将处理好的误差数据划分为训练输入和训练目标，每个训练输入是长度为的序列，对应的训练目标是该序列之后的下一个误差值。整个网络采用均方误差作为损失函数。整个训练过程为：将训练数据输入模型，进行个训练轮次，每轮训练中计算损失并进行反向传播更新模型参数，训练中使用Adam优化器进行模型参数更新，设置学习率为。

2.2.5 GRU-LSTM模型测试

GRU-LSTM模型测试分为五个步骤：加载模型、测试数据处理、模型预测、误差反归一化以及轨迹修正。首先，加载训练好的GRU-LSTM模型；其次，对测试数据重复步骤一和二的操作，得到测试输入和测试目标。第三，将测试输入至加载的模型中，得到预测的误差值。第四，将预测的误差值进行反归一化处理，得到真实尺度下的误差值。最后，将无偏灰度GM(1,1)模型的预测结果与修正后的误差值相加，得到最终的轨迹预测结果。

3 实验结果

3.1 数据集和方法实现

数据采集自仿真模拟，共包含1000条轨迹序列，每条序列包含时间步和对应的无人机位置坐标信息。GRU-LSTM网络的结构设置为：输入层维度为3（三个方向的误差），GRU层和LSTM层均包含64个神经元，输出层维度为3（修正后的误差），采用Adam优化器，学习率为0.001，批次大小为32。

3.2 实验结果分析

图2展示了三维无人机轨迹预测可视化结果示例，可以看出，蓝色散点代表的实际轨迹与红色曲线代表的预测轨迹整体贴合度较高，验证了基于无偏灰度与GRU-LSTM网络的轨迹预测方法的有效性，下面从轨迹拟合和误差分布两个角度展开分析：

（1）轨迹拟合效果分析：在三维空间的X、Y、Z轴方向上，预测轨迹（红色）能够紧密跟随实际轨迹（蓝色）的形态变化。无人机在空间中飞行时，轨迹出现转向、起伏等动作，如在X坐标[-5,5]区间、Y坐标[-2,2]区间、Z坐标[16.5,19.5]区间内的轨迹弯折处，预测轨迹精准捕捉到实际轨迹的运动趋势，说明所提方通过GM(1,1)模型初步拟合轨迹轮廓，再经GRU-LSTM网络修正误差，有效学习无人机运动的时空关联特征，实现了对轨迹整体形态的复现。

（2）误差分布特征分析：部分实际轨迹点与预测轨迹的空间距离，反映出模型在极端点的预测精度有提升空间。这与灰度模型少样本适应时的初始拟合误差和GRU-LSTM网络对动态扰动的学习残差相关。

4 结论

针对无偏灰度GM(1,1)模型在无人机轨迹预测中受动态变化与噪声干扰导致精度受限的问题，融合GRU与LSTM的神经网络模型通过协同双重门控机制，实现了对误差序列短期波动与长期趋势的精准捕捉。该模型既保留了无偏灰度GM(1,1)模型对少样本数据的适应性，又借助GRU的计算高效性与LSTM对长期依赖的强捕捉能力，有效弥补了传统循环神经网络在处理序列误差时的缺陷，显著提升了复杂环境下无人机轨迹预测的准确性。

参考文献：

1. [1] 於怿丰,任思维,张鑫帅,等.基于数据驱动模型预测控制的无人机轨迹跟踪方法[J].兵器装备工程学报,2024,45(11):272-282.
2. [2] 闫玉盼,饶兵,刘砚菊,等.基于非线性模型预测的四旋翼无人机轨迹跟踪控制[J].沈阳理工大学学报,2024,43(01):36-43+49.
3. [3] Jia S, Xu T, Sun Z et al. Middle and long-term prediction of UT1-UTC based on combination of gray model and autoregressive integrated moving average[J], Advances in space research,2017,59(03):888-894.
4. [4] 吉培荣,张莉,刘鹄.一种适用于灰色预测控制的无偏直接GM(1,1)模型[J].三峡大学学报(自然科学版),2008(01):87-88+112.
5. [5] 张邦楚,杨朋坤,梁毅雍,等.基于LSTM的空战无人机实时航迹预测[J].战术导弹技术,2024(03):72-83.