引言

2023年以来，以ChatGPT、GPT-4、Claude、DeepSeek-R1等为代表的生成式AI模型以前所未有的速度渗透至教育领域。在数学教学中，这些工具能够快速解答问题、生成证明步骤、解释复杂概念，甚至编写求解特定问题的代码，这为个性化学习、资源快速获取提升提供了巨大潜力。

然而，生成式AI本质上是大语言模型，其核心能力在于根据概率分布预测生成符合语法与上下文逻辑的文本序列，而非进行严格的数学形式运算或推理。这导致其在回答数学任务中频繁出现“幻觉”（Hallucination）现象：以极其自信和流畅的方式输出完全错误的计算结果、跳跃的逻辑步骤、甚至循环论证。对于数学基础尚不扎实的学生而言，这些“一本正经的胡说八道”极具欺骗性。

一、研究背景及研究意义

（一）问题提出

面对AI幻觉带来的风险，早期教育界的本能反应是“堵”：禁用AI工具、设计脱离AI能力的作业、强化闭卷检测。但这种思路在AI无所不在的现实面前注定失效。

本文提出根本性的范式转变：与其试图屏蔽禁用AI，不如化被动为主动，将其转化为一种独特的“教学资源”。数学教育的本质从来不是记忆正确答案，而是经历猜想、验证、反驳、修正的思维锤炼过程。而AI的“错误”恰好提供了一个常态化、可控制、即时反馈的“证伪环境”。

（二）研究意义

• 理论层面：突破“AI=智能工具”的单一技术视角，提出“AI=认知冲突制造者”的教学新角色。
• 实践层面：提供可复制、可迁移的PBL教学策略与具体案例。
• 育人层面：为培养AI时代不可替代的人类智能提供可行路径。

二、理论基础与概念界定

（一）生成式AI在高等数学中的“幻觉”效应

表1展示了生成式AI在高等数学典型主题中常见的幻觉表现，这些例子均源自真实课堂观察与AI测试数据：

幻觉类型	典型高等数学表现（新案例）	教育风险
计算错误	求极限： 计算定积分：（正确应为2，但AI中间计算过程出错）	基础运算能力被虚假答案瓦解，学生无法掌握正确的极限运算法则与积分技巧
步骤跳跃	多元函数求偏导：（漏掉链式法则中项） 求二阶导：（中间省略了求一阶导的计算步骤）	学生无法追踪逻辑链，模仿错误的求导习惯，求导逻辑混乱（链式法则与乘积法则混淆），混淆偏导与全导
逻辑循环	证明洛必达法则：用洛必达法则证明，而洛必达法则基于导数和微分中值定理，而第一个重要极限是推导函数导数的基石之一	循环论证破坏数学证明的严谨性，学生误以为“自洽”即“正确”
虚假引用	编造“拉普拉斯定理推广”，声称可解非线性微分方程	误导学生对知识谱系的认知，形成错误的前提假设
条件忽略	泰勒展开：（忽略收敛域）	训练学生忽视数学的先决假设，导致模型与实际场景脱节
概念混淆	混淆“可微”与“连续”：声称“函数可导则连续”是充分条件（应为必要条件） 混淆“偏导存在”与“可微”：声称“偏导存在必可微”	混淆概念的本质区别，无法准确应用相关定理与性质
向量/矩阵幻觉	矩阵求逆：计算错误，但声称“经校验正确” 特征值计算：展开错误	线性代数计算是后续课程基础，错误累积影响机器学习、物理等学科

（二）批判性思维在数学中的具象化

• 质疑精神：对给定的解法、答案或命题不盲从，主动提问“为什么这个步骤成立？”；
• 逻辑验证：逐条检查推理链条的严谨性与完整性；
• 证据评估：判断论据是否足以支持结论，识别逻辑谬误；
• 元认知监控：反思自己的思维过程，主动发现并修正自身推理中的盲点。

（三）PBL学习赋能AI辅助教学的契合点

• 分工重构：AI负责“广度的信息生成与模拟计算”，学生负责“深度的逻辑审查与决策判断”；
• 冲突制造：AI的系统性“犯错”成为高质量的认知冲突源；
• 迭代加速：学生修正假设后，AI可快速重新生成数据，极大缩短“假设—验证—修正”的循环周期。

三、现状痛点：AI融入数学PBL的“两张皮”现象

（一）浅层应用

最常见的实践是：在PBL项目的某个环节使用AI快速获取结果。AI从未进入数学思维的核心地带——推理、建模、质疑、论证。

（二）信任危机

当AI参与到需要逻辑链的任务时，由于学生自身数学功底不足，出现了另一种极端：对AI输出的看似逻辑严密、实则漏洞百出的证明过程全盘接受。

（三）思维惰性

当学生习惯了“提问—获取答案—使用答案”的线性交互模式后，其主动进行中间步骤推理、多路径探索、自我纠错的意愿会显著下降。这种思维惰性具有隐蔽性和累积性，长期以来导致学生在处理没有现成答案的真实复杂问题时束手无策。

四、融合策略：基于“风险转化”的教学模式构建

（一）策略一：AI作为“反方辩手”

操作方式：在PBL教学的关键推理节点，教师不要求AI给出“最佳解法”，而是给出明确的、反向的或包含常见逻辑谬误的指令。例如：“请用看似严密的步骤证明一个错误的几何结论”“请在解方程过程中故意隐藏两步关键的代数变形”。

（二）策略二：“找茬”与“补全”任务驱动

操作方式：将PBL教学起点设定为一份由AI生成的“残缺方案”或“带有隐蔽漏洞的解决方案”。教学任务明确为：“对AI给出的第一版方案，完成一份数学审查报告。”

（三）策略三：人机协同的“双盲验证”

操作方式：在PBL的阶段性成果评价环节，设置“双盲验证”：路径A为学生小组互评；路径B为将学生方案提交给AI，指令AI以“严格的数学审稿人”身份进行评价；最后组织“三方对话”。

五、案例实证：以“传染病传播模型”SIR/SEIR微分方程建模为例

（一）项目背景与设计

• 适用学段：理工类大学本科一年级；
• 核心数学知识：可分离变量的微分方程、导数的实际意义、函数图像分析、极限思想；
• 真实问题：假设某封闭社区发生一起传染病，如何利用高等数学工具建立数学模型预测发展趋势？不同防控措施（戴口罩、隔离、疫苗接种）的影响如何量化？
• 传统PBL教学模式：教师讲解微分方程→学生套用公式→提交报告；
• 本实验改良模式：引入“AI反方辩手”与“风险转化”三大策略。

（二）实施过程：信任—怀疑—重构三阶段进阶

1. 阶段1：初始信任（暴露风险）

教师要求学生直接向AI提问：“请建立一个SIR传染病模型，并给出求解方法和预测结果。”AI快速输出一个看似“完整”的方案，包括模型假设、微分方程、求解过程和预测曲线。

部分小组直接采纳该方案。教师提出质疑：“AI给出的微分方程中，和参数的含义是什么？这些参数的取值范围有没有限制？模型是否考虑了人口总数守恒？”

学生查阅资料后发现AI方案存在明显问题：微分方程中遗漏了人口总数守恒的条件验证；β（传染率）被设定为固定值，但实际上在不同防控措施下应动态变化；未考虑无症状感染者（E类人群）对传播的影响。

2. 阶段2：深度怀疑（“找茬”与“反方辩手”激活）

教师正式引入AI作为“反方辩手”和“找茬任务”。任务明确为：“对AI给出的第一版模型方案，完成一份数学审查报告。报告中必须逐条指出：模型假设的合理性；微分方程推导的正确性；求解过程的严谨性。每指出一条，必须引用数学原理。”

各小组展开激烈辨析。学生发现的典型漏洞见表2。

漏洞编号	AI原方案描述	学生发现的问题	数学依据
漏洞1	“SIR模型假设人群分为易感者(S)、感染者(I)和康复者(R)，总人口保持不变”	AI未验证对时间求导是否为零	（除非）
漏洞2	，直接给出求解结果	参数值来源不明，无实际数据支撑	参数应基于实际感染数据拟合，而非随意设定
漏洞3	“使用分离变量法直接求解非线性微分方程组”	非线性微分方程组一般没有解析解	应说明数值解法（如欧拉法、龙格库塔法）
漏洞4	“未考虑潜伏期人群”	实际传染病大多存在潜伏期	应升级为SEIR模型

3. 阶段3：逻辑重构（人机协同严谨建模）

（1）步骤1：修正SIR模型

并验证，确认人口总数守恒。

（2）步骤2：升级为SEIR模型

其中为潜伏期转化率。

（3）步骤3：参数估计与数值求解

学生采用策略三（双盲验证）：将小组构建的模型输入AI，让AI作为“审稿人”评价模型的逻辑一致性。

学生：我们使用Python的scipy.integrate.odeint函数进行数值求解，初始条件为。

AI：初始条件合理。但请注意，基本传染数的计算需要基于模型参数。如果，疾病将逐渐消失；如果，疾病可能爆发。建议添加敏感性分析。

（4）步骤4：防控措施量化分析

学生利用高等数学工具进行量化分析：戴口罩（降低值）、隔离措施（模拟封城）、疫苗接种（转移S至R）。最终提交包含严谨验证、代码、预测曲线及改进建议的完整报告。

（三）数据分析与效果对比

实验组（）采用“风险转化”模式，对照组（）采用传统PBL模式。

指标	对照组（均值±标准差）	实验组（均值±标准差）	效应量	显著性
逻辑严谨性总分			1.41
模型假设明确性			1.27
错误检测率			1.65
批判性思维（数学情境）			1.22

六、结论与反思

（一）研究结论

本研究表明：生成式AI在数学PBL教学中的“幻觉”问题，不仅可以通过教学策略转化来规避其负面效应，更能转化为培养学生批判性思维与数学严谨性的独特资源。核心成功要素在于：

角色重构：AI从“答案机”重置为“辩友”和“错误发生器”。

任务倒置：PBL教学起点从“解决问题”变为“评审AI的错误方案”。

对话深化：通过人机双盲验证，创造持续的认知冲突与元认知反思。

（二）教师角色的再定位

教师应成为“认知冲突的策展人”：设计AI的“有效错误”、引导辩论而非给出答案、评估人机协同思维能力。

（三）未来展望

随着AI推理能力增强，错误将更隐蔽。未来的数学课堂，人机间的“逻辑博弈”将更加深入，学生将在对话中锤炼出真正不可替代的批判性思维。

参考文献：

1. [1] 薛澜,王净宇.人工智能发展的前沿趋势、治理挑战与应对策略[J].行政管理改革,2024(08):4-13.
2. [2] Yujie Sun, Dongfang Sheng, Zihan Zhou, et al. AI hallucination: towards a comprehensive classification of distorted information in artificial intelligence-generated content[J]. Humanities and Social Sciences Communications,2024,11(01):1278-1278.
3. [3] 刘泽垣,王鹏江,宋晓斌,等.大语言模型的幻觉问题研究综述[J].软件学报,2025,36(03):1152-1185.
4. [4] 焦建利.ChatGPT助推学校教育数字化转型——人工智能时代学什么与怎么教[J].中国远程教育,2023,43(04):14-20.
5. [5] 查淑玲.传染病的SIR模型[J].山西中医学院学报,2003,4(02):52-53.
6. [6] 王婷,王辉,胡志兴.一类非线性SEIRS传染病传播数学模型[J].河南科技大学学报（自然科学版）,2017,38(02):8884-8894.